Оцениваем вероятность прихода комбинаций в покере.

игровые автоматы играть бесплатно

 

КОМБИНАЦИИ ПОКЕРА

Математика образования комбинаций в покере

 

О какой бы разновидности покера не шла речь, существуют строго определенные названия покерных комбинаций. Их всего девять, но на их основе возникают все новые и новые покерные игры.

- Пара
(Pair)
- Две пары
(Two pairs)
- Тройка
(Three of kind)
- Стрит
(Straight)
- Флеш
(Flush)
- Фул-Хаус
(Full House)
- Каре
(Four of kind)
- Флеш-Стрит
(Straight Flush)
- Флеш-Роял
(Royal Flush)

 

В данной статье мы расскажем о методике подсчета числа всевозможных комбинаций в покере и о том, как такую работу провести самому. В конце статьи приведена таблица, показывающая количество и вероятности образования комбинаций. Сразу оговорюсь, что здесь под словом покер понимается пятикарточный оазис для стандартной колоды 52 листа.

Для того чтобы уметь оценивать вероятности в покерных задачах необходимо знание азов комбинаторики и теории вероятности. А пока, я предлагаю обойтись без них и посчитать, сколько всего есть комбинаций Роял-Флеш (пять карт одной масти от Десятки до Туза). Надеюсь, никто не будет спорить с тем, что их в природе всего четыре штуки, по одной в каждой масти.

Также «на пальцах», без формул, включив воображение, можно подсчитать количество комбинаций Каре (четыре карты одного достоинства).

В колоде существует 13 рангов карт - от Двойки до Туза. Соответственно, Каре может иметь 13 достоинств. Комбинация содержит пять карт. Значит, в каждом из 13-ти Каре разных рангов пятая карта может быть любой из оставшихся карт в колоде. Число карт в колоде – 52, четыре мы уже используем. Остается 48 свободных карт, которые мы по одной можем добавлять к четырем картам одного ранга для получения каждый раз новой комбинации Каре. Умножив 13 на 48, получим 624 - количество возможных разных 5-ти карточных комбинаций Каре.

Так, не прибегая к сложным вычислениям, мы уже имеем две цифры - 4 и 624. Глядя на них, можно заключить, что Роял-Флеш в 156 раз старше, чем Каре (ведь приходит он в 156 раз реже). Стандартные выплаты на покере это 20:1 по BET за Каре и 100:1 за  Роял-Флеш. Так почему же такая сильная комбинация как Роял-Флеш, оплачивается всего в пять раз больше чем Каре? Выходит, что создатели правил, не учитывали вероятности или может быть дело в другом? Ответ прост: несоответствие уровня денежных выплат за комбинации их реальной математической ценности - это просто условность, которая помогает сделать игру интересней.

Чем красивее (читай сильнее) покерная комбинация, тем проще подсчитать вероятность ее выпадения. По этой логике выходит, что наиболее трудная задача есть подсчет количества пятикарточных комбинаций содержащих пару. Да, для этого придется воспользоваться специальными формулами из комбинаторики. Но еще сложней подсчитать количество пустых комбинаций в покере, т.е. «нет игры».

Теперь, я предлагаю последний раз «на пальцах» посчитать количество комбинаций Флеш-Стрит, после чего мы перейдем к формулам, и вычисление остальных комбинаций пойдет быстрее.

Самый младший  Флеш-Стрит заканчивается Пятеркой. Самый старший  - Королем. Итого: число комбинаций  Флеш-Стрит одной определенной масти есть 9. Девять умножаем на четыре масти и имеем 36 - количество комбинаций Флеш-Стрит.

Цифры 4, 36, 624 еще понадобятся нам при последующих вычислениях. А сейчас я хочу представить вам очень мощные и в то же время легко запоминающиеся формулы комбинаторики почти на все случаи жизни.

Формула первая Количество перестановок из числа n равна n! (n факториал).

Cn = n!

Напомню, что факториал это действие, при котором подвергаемое этому действию  число n нужно умножить на (n-1), потом умножить на(n-2) и так далее до единицы.

Пример 3! = 3*2*1 = 6. Практическое применение: Трех разных по росту людей можно построить в ряд шестью способами. Или: Комплексный обед из трех блюд можно съесть шестью разными способами, меняя очередность.

Формула вторая и последняя. Количество сочетаний из числа n по m. Записывать можно так Cnm.

Cnm = n!/m!*(n-m)!

Эта формула не только идеально подходит для вычисления числа комбинаций в покере, но и полезна для решения других практических задач. Стоит только понять, как и при каких условиях ее применять.

Следующая после Каре (по простоте подсчета количества) это комбинация Флеш. Нахождение количества комбинаций Флеш будет хорошим примером применения формулы числа сочетаний из n по m. Требуется вычислить - сколько разных 5-ти карточных комбинаций Флеш можно составить из 13 карт одной масти? Применим формулу количества сочетаний. Числом n здесь будет 13 – число карт одной масти, а числом m будет 5 – необходимо карт для составления  Флеша.

Cnm = C135 = 13!/5!*(13-5)! = 1287

1287 пятикарточных комбинаций отдельной масти. Умножая на четыре, по количеству мастей, поучаем 5148. Теперь, вычитая из этого числа 4 Роял-Флеша и 36 Флеш-Стритов, получим верную цифру 5108 - это количество разных флешевых пятикарточных комбинаций.

Итого имеем:

Роял-Флеш        4
Флеш-Стрит      36
Каре                    624
Фул-Хаус            ?
Флеш                  5108

Пропустили Фул-Хаус, считаем. Эта покерная комбинация состоит из трех карт одного ранга и двух карт другого ранга. Возьмем в руку четыре карты одного достоинства. Отбрасывая одну карту можно получить три карты одного ранга четырьмя способами.

Проверяем, используя всё ту же формулу  Cnm.

C43 = 4!/3!*(4-3)! = 4

А получить из четырех карт одного ранга две парные карты можно шестью способами:

C42 = 4!/2!*(4-2)! = 6     (число вариантов парных карт одного ранга)

Рассматривая частный пример, возьмем в руки три Туза. Чтобы получить Фул-Хаус, необходимо добавить к этим картам любую пару. Всего пар в колоде 6*12 (12 это количество свободных рангов от 2 до Короля). 6 - это число вариантов парных карт одного ранга. Итого: 4*6*12 = 288 всевозможных Фул-Хаусов включающих три Туза. Где 4-это число способов получить три карты одного ранга. Умножая это количество на количество рангов 13, получим 3744 - число  Фул-Хаусов в покерной колоде.

288*13 = 3744

Дальше займемся самой популярной покер-комбинацией - Стрит. Она поистине является народной. Существование массы покерных терминов связанных со Стритом либо с его возможным появлением доказывает это. Имею в виду двусторонку, дырявый стрит и другие понятия покера.

Чтобы двигаться от простого к сложному, рассмотрим комбинацию Флеш-Стрит от 2 до 6. Теперь, поменяем Двойку на Двойку другой масти, создавая из Флеш-Стрита простой Стрит. Чтобы получать все новые и новые Стриты нам достаточно лишь менять масти стритообразующих карт, оставляя их ранг неизменным. В данном случае мы можем последовательно изменять масти у пяти карт – Двойки, Тройки, Четверки, Пятерки и Шестерки:

Поменяли масть одной из этих карт – получили НОВЫЙ Стрит.

Прибегнув к такому перебору можно точно подсчитать количество Стритов, начинающихся с Двойки.

Математически данный процесс перебора можно записать так: 4*4*4*4*4 = 1024. В роле младшей карты Стрита могут выступать десять карт от Туза до Десятки. Умножая 1024 (это количество стритов с заданной младшей картой) на 10 возможных таких младших карт получаем 1024*10 = 10240. В эту цифру вошли также все Флеш-Стриты и Роял-Флеши.

Итого: точное количество всех возможных Стритов в покере есть 10240 - (36+4) = 10200.  

Роял-Флеш        4
Флеш-Стрит      36
Каре                    624
Фул-Хаус            3744
Флеш                  5108
Стрит                  10200
Тройка                ?
Две Пары           ?
Пара                   ?
Туз-Король         ?    

Если, вам ясен принцип подсчета числа Фул-Хаусов, то вы без труда поймете процедуру подсчета числа пятикарточных комбинаций Тройка. Начнем:   

Мы помним, что число способов получить три разных карты одного ранга это -

C43 = 4!/3!*(4-3)! = 4 (число первое)

Теперь, чтобы составить пятикарточную комбинацию Тройка, нам необходимы еще две произвольные карты из оставшейся колоды. Этих карт  48. Опять применяем формулу  количества сочетаний из числа n по m.

Cnm = n!/m!*(n-m)!

Нам нужно знать, сколько разных вариантов из 2-х карт можно «вытянуть» из 48 карт.

n = 48; m = 2  имеем:

C482 = 48!/2!*(48-2)! = 1128 (число второе)

Для тех, кто не знает, что в вычислении C482 калькулятор не поможет, по причине того, что значение факториала 48-ми содержит слишком много разрядов скажу, что путем простого сокращения дроби это выражение приводится к виду 48*47/2. Калькулятор нам пригодится только чтобы посчитать произведение 48*47 и поделить на 2.

Чем меньше m, тем к более простому виду можно привести полученное выражение, это придает данной формуле еще одно достоинство - то, что во многих практических случаях вам и калькулятор не понадобится.

Чтобы подсчитать количество пятикарточных комбинаций Тройка одного определенного ранга нужно умножить (число первое) на (число второе), считаем.

4*1128 = 4512     

Далее, это число умножаем на 13 (количество рангов карт) 4512*13 = 58656.

Осталось вычесть из этого числа количество Фул-Хаусов 3744.

58656-3744 = 54912.

Число пятикарточных комбинаций Тройка равно 54912.

 

Займемся комбинацией Две Пары.

Помним, что получить из четырех карт одного ранга две парные карты можно шестью способами:

C42 = 4!/2!*(4-2)! = 6     (число вариантов парных карт одного ранга)

Первая пара может быть любой из шести каждого ранга. Поэтому всего пар из целой колоды можно вытянуть 6*13 = 78.

Теперь добавляем к первой паре вторую. Вторая пара может быть любой из оставшихся двенадцати рангов карт 6*12 = 72. Произведение 78*72 есть число возможных четырехкарточных комбинаций Две Пары.

78*72 = 5616

В число 5616 входят повторяющиеся комбинации, такие как два Туза в составе первой пары, и комбинации, имеющие два туза в составе второй пары. Очевидно, что названные комбинации являются одинаковыми, то есть каждой четырехкарточной комбинации АА99 соответствует комбинация близнец 99АА. Чтобы получить истинное количество четырехкарточных комбинаций Две Пары, разделим найденное число на два.

5616/2 = 2808

Пятая карта комбинаций Две Пары может быть любой, кроме карт участвующих в образовании основной комбинации.

То есть, любой из сорока четырех (52-4-4 = 44).

Умножая число возможных четырехкарточных комбинаций Две Пары на 44 получим 123552 - число возможных пятикарточных комбинаций Две Пары.

2808*44 = 123552

Теперь, умея многое, займемся подсчетом количества пятикарточных комбинаций содержащих Пару.

Всего пар в колоде: 6*13 = 78.

Находим, сколько разных вариантов из 3-х карт можно «вытянуть» из 48 карт.

n = 48; m = 3  имеем: C483= 48!/3!*(48-3)! = 48*47*46/3*2*1 = 17296

17296*78 = 1349088

Делая выборку из 48 карт по 3, мы не учитывали возможные совпадения их рангов. Поэтому из полученного числа 1349088 необходимо вычесть количество Фул-Хаусов   3744, а также удвоенное число комбинаций две пары 123552*2 = 247104.

1349088-3744-247104 = 1098240 – число пятикарточных комбинаций содержащих Пару.

Роял-Флеш        4
Флеш-Стрит      36
Каре                    624
Фул-Хаус            3744
Флеш                  5108
Стрит                  10200
Тройка                54912
Две Пары           123552
Пара                   1098240

Давайте оценим вероятность прихода покерных комбинаций с раздачи. Как известно, вероятность это отношение числа благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов. Количество возможных исходов в нашем случае это сколько всего вариантов пятикарточных рук можно составить из 52 карт.

Последний раз применим и закрепим универсальную формулу:  

C525 = 52!/5!*(52-5)! = 52*51*50*49*48/5*4*3*2*1 = 2598960

Всего вариантов пятикарточных рук 2598960.

Итого, вероятность прихода Роял-Флеш равна: 4/2598960 = 0,00000154 (в процентах 0,000154).

Аналогично считаем для остальных комбинаций. Полученные данные заносим в таблицу 1.

Вероятности образования комбинаций с раздачи в оазис покере. Таблица 1.

комбинация количество, шт вероятность вероятность,%
Роял-Флеш 4 0,0000015 0,00015
Флеш-Стрит 36 0,0000139 0,0014
Каре 624 0,0002401 0,02
Фул-Хаус 3744 0,0014406 0,14
Флеш 5108 0,0019654 0,20
Стрит 10200 0,0039246 0,39
Тройка 54912 0,0211285 2,11
Две Пары 123552 0,0475390 4,75
Пара 1098240 0,4225690 42,26
Всего комбинаций 2598960    

Все вычисления проводились для комбинаций, полученных с раздачи. Вероятности возникновения комбинаций на боксе в течение игры зависят от правил обмена, стиля игры и стратегии игрока.